π是怎么诞生的?

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大家或许会好奇, 究竟哪点吸引人了,能够让数学家们对它痴迷到如此地步?其实, 本身的存在就是一个奇迹:不管一个圆有多大,它的周长和直径之比总是一个固定的数,它就是 3. ,是一个无限不循环小数。我们把这个数就叫做圆周率,用希腊字母 来表示。在几何问题中,圆周率扮演着非常重要的角色;然而更神奇的是,它也驰骋于几何以外的其它数学领域。

在地板上画一系列间距为 2 厘米的平行线 厘米的针扔在地板上。那么,这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢?1733 年,法国博物学家布丰(Comte de Buffon)第一次提出了这个问题。1777 年,布丰自己解决了这个问题这个概率值是 1/ 。

这个问题可以用微积分直接求解,也能利用期望值的性质得到一个异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案,结论依然相当令人吃惊在这个概率问题上,竟然也有 的踪影。有人甚至利用投针法,求出过 的近似值来。

我们把从 1 开始一直连乘到 n 的结果称作“n 的阶乘”,在数学中用 n! 来表示。也就是说:

其中 c 是某个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确值。几年后,数学家詹姆斯斯特林(James Stirling)指出,这个常数 c 等于 2 的平方根。也就是说:

阶乘运算本来是定义在正整数上的,但我们可以很自然地把它扩展到所有的正数上只需要寻找一条经过所有形如 (n, n!) 的整格点的曲线就可以了。由此定义出来的函数就叫做伽马函数,用希腊字母 Г 来表示。好了,神奇的事情出现了。我们有这样一个结论:

1 的平方分之一,加上 2 的平方分之一,加上 3 的平方分之一,这样一直加下去,结果会怎样呢?这是一个非常吸引人的问题。

从上表中可以看到,越往后加,得数变化幅度就越小。可以预料,如果无穷地加下去,得数将会无限接近于某一个固定的数。这个数是多少呢?

1735 年,大数学家欧拉(Euler)非常漂亮地解决了这一问题。神奇的是,这个问题的答案里竟然包含有 :

如果两个整数的最大公约数为 1,我们就说这两个数是互质的。例如,9 和 14 就是互质的,除了 1 以外它们没有其它的公共约数;9 和 15 就不互质,因为它们有公共的约数 3。可以证明这样一个令人吃惊的结论:任取两个整数,它们互质的概率是 6 / 2,恰好是上面一个问题的答案的倒数。在一个纯数论领域的问题中出现了圆周率,无疑给小小的希腊字母 更添加了几分神秘。

这个公式用加法、乘法、乘方这三个最基础的运算,把数学中最神奇的三个常数(圆周率 、自然底数 e、虚数单位 i)以及最根本的两个数(0 和 1)联系在了一起,没有任何杂质,没有任何冗余,漂亮到了令人敬畏的地步。这个等式也是由大数学家欧拉发现的,它就是传说中的欧拉恒等式(Eulers identity)。《数学情报》杂志(The Mathematical Intelligencer)曾举办过一次读者投票活动,欧拉恒等式被评选为“史上最美的公式”。

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